Ecuaciones e Inecuaciones lineales o simples

Empecemos por definir que es una ecuación en matemática. 

Proviene del latin " aequatio", igualdad, entonces en una ecuación siempre vas a encontrar el signo=, por que la ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, o "miembros" que contiene una o varias incógnitas  (variables) expresadas en letras (x, y) y que sirve para resolver problemas.

La resolución de una ecuación es encontrar el número o valor que debe tener la incógnita para que la igualdad sea verdadera.
x + 27 = 52

Lo primero es agrupar los números por un lado y las letras por otro.
Cuando paso un n° al otro lado de la igualdad cambio de signo para mantener la igualdad
3+5= 8
3=8-5
5=8-3
8=3+5


Veamos la ecuación, 

x+27 = 52
x= 52- 27
x= 25
Para comprobar el resultado reemplazamos , la x por el valor hallado
25+27= 52

Se llama ecuación simple o lineal a la ecuación que tiene una sola incógnita, por ej.:
2X+ 8 = 36-4
2X= 36-4-8
2X= 16
X= 16:2
X=8
Comprobación:
2 x 8 + 8= 36-4
16 +8 = 32
32= 32
Veamos
-2 + 9 - X = 4 + 8
-X = 4+ 8 - 9 + 2
X =  -5
Comprobamos:
-5- 2+ 9 = 4+8
-2 + 9-(-5)= 4+ 8
-2 + 9+ 5 = 4 + 8
12 = 12

Para resolver problemas usando ecuaciones  tenemos que encontrar la ecuación que describe el problema y resolverla. 

Pedro reparte 85 caramelos entre sus tres hijos. Al mayor le da el doble de caramelos que al menor y al mediano le da 13 caramelos más que al menor. ¿Cuántos caramelos tiene cada uno?
Sabemos que, el hijo mayor tiene el doble que el menor y el hijo del medio tiene 13 caramelos más que el menor, lo que no sabemos es cuántos caramelos tiene el hijo menor y que hay 85 caramelos en total. 
Entonces nuestra incógnita x es la cantidad de caramelos que tiene el hijo menor.

$\mathrm{<br>}$

x + 2x + (x+13) =85

4x + 13 = 85

4x = 85 - 13 

4x = 72

x = 72/4

x = 18

Comprobamos:

El mayor tiene 2x =  2x 18 = 36, 

el hijo del medio tiene 13 + x = 13 + 18 = 31 

y el hijo menor tiene 18

18 + 31 + 36 = 85 Uno mas. Si el perímetro de un cuadrado es 36 cm. Cuánto mide cada lado? El perímetro es la suma de los 4 lados, como un cuadrado tiene 4 lados que miden lo mismo, x sera la longitud de cada uno de ellos. $$x+x+x+x=36$$ $$4x=36$$ $$x=\frac{36}{4}$$ $$x=9$$ Los lados del cuadrado miden 9 cm (cada uno). Veamos ahora inecuaciones A las inecuaciones se les llama también desigualdades de condición. Una inecuación es una desigualdad compuesta por dos expresiones algebraicas, relacionadas por los signos; menor que (<), menor o igual que (≤), mayor que (>) o mayor o igual que (≥). Para resolverlas hay que  ir transformando la inecuación inicial en otras equivalentes más simples hasta encontrar todos los valores de la incógnita, para los cuales se cumple la desigualdad.  Puede ser un número o un intervalo Los intervalos son subconjuntos de los números reales que se pueden representar gráficamente en la recta numérica. Por ej.: x ≥ 3   Continuará...

Multiplicación y división de fracciones

Hay 3 simples pasos para multiplicar fracciones 1. Multiplica los números de arriba (los numeradores). 2. Multiplica los números de abajo (los denominadores). 3. Simplifica la fracción.

Ejemplo 1

1	×	2
2		5

Paso 1. Multiplica los números de arriba:

1	×	2	=	1 × 2	=	2
2		5

Paso 2. Multiplica los números de abajo:

1	×	2	=	1 × 2	=	2
2		5		2 × 5		10

Paso 3. Simplifica la fracción:

2	=	1
10		5

Para multiplicar fracciones mixtas:

1. conviértelas en fracciones impropias
2. multiplica las fracciones
3. convierte el resultado de vuelta en fracción mixta

Ejemplo

¿Cuánto es 1 3/8 × 3 ?

Piensa en pizzas.

1 3/8 es 1 pizza y 3 octavos de otra pizza.

Primero convertimos la fracción mixta (1 3/8) en fracción impropia (11/8):

Corta la pizza en octavos, ¿cuántos tienes en total? 1 montón de 8, más los 3 octavos = 8+3 = 11 octavos.

Ahora multiplica eso por 3:

1 3/8 × 3 = 11/8 × 3/1 = 33/8 Tienes 33 octavos.

Finalmente, convierte eso en fracción mixta (porque la fracción original estaba en esa forma):

33 octavos es 4 pizzas enteras (4×8=32) y 1 octavo que sobra.

Y así queda en una sola línea:

1 3/8 × 3 = 11/8 × 3/1 = 33/8 = 4 1/8

Otro ejemplo

¿Cuánto es 3 1/4 x 3 1/3 ?

Convierte los dos en fracciones impropias

3 1/4 × 3 1/3 = 13/4 × 10/3

Multiplica

13/4 × 10/3 = 130/12

Convierte en número mixto (y simplifica):

130/12 = 10 10/12 = 10 5/6

Aquí tienes esta también en una línea:

3 1/4 × 3 1/3 = 13/4 × 10/3 = 130/12 = 10 10/12 = 10 5/6

En este hay negativos

Me han pedido que resuelva este:

-1 5/9 × -2 1/7 = ?

Así que el primer paso es convertir las fracciones mixtas en impropias:

1 5/9 = 9/9 + 5/9 = 14/9
2 1/7 = 14/7 + 1/7 = 15/7

Ahora multiplicamos las fracciones impropias (Nota: negativo por negativo da positivo) :

-14/9 × -15/7 = -14×-15 / 9×7 = 210/63  

Ahora simplifico, primero entre 7 (porque me he dado cuenta de que 21 y 63 son los dos múltiplos de 7), después entre 3 (pero lo podría haber hecho de una vez dividiendo entre 21):

210/63 = 30/9 = 10/3 

Para terminar lo convierto en fracción mixta (porque así estaban cuando me preguntaron):

10/3 = (9+1)/3 = 9/3 + 1/3 = 3 1/3

Hay 3 simples pasos para dividir fracciones:

Paso 1. Dale la vuelta a la segunda fracción (por la que quieres dividir) (ahora es la recíproca).
Paso 2. Multiplica la primera fracción por la recíproca de la segunda. Paso 3. Simplifica la fracción (si hace falta)

Ejemplo 1

1	÷	1
2		4

Paso 1. Dale la vuelta a la segunda fracción (la recíproca):

1		4
4		1

Paso 2. Multiplica la primera fracción por la recíproca de la segunda:

1	×	4	=	1 × 4	=	4
2		1		2 × 1		2

Paso 3. Simplifica la fracción:

4	=	2
2

(Si no estás seguro de cómo se hace el último paso ve a la página de Fracciones equivalentes)

Ejemplo 2

1	÷	1
8		4

Paso 1. Dale la vuelta a la segunda fracción (la recíproca):

1		4
4		1

Paso 2. Multiplica la primera fracción por la recíproca de la segunda:

1	×	4	=	1 × 4	=	4
8		1		8 × 1		8

Paso 3. Simplifica la fracción:

4	=	1
8		2

suma y resta de fracciones

 Suma y resta de fracciones

Para sumar y restar fracciones hay que distinguir entre:

Fracciones con igual denominador

Fracciones con distinto denominador

a) Fracciones con igual denominador

En este caso para sumar o restar fracciones se mantiene constante el denominador y se suman o restan sus numeradores.

Veamos un ejemplo:

Sumamos sus numeradores y mantenemos el denominador:

Veamos otro ejemplo:

Restamos sus numeradores y mantenemos el denominador:

b) Fracciones con distinto denominador

En este caso para sumar o restar fracciones:

Lo primero que hay que hacer es buscar un denominador común a todas ellas.

Luego sustituir las fracciones originales por fracciones equivalentes con este denominador común.

Y ¿cómo se calcula este denominador común? utilizaremos el método del mínimo común múltiplo (MCM).

Una vez obtenido el denominador común hay que calcular las fracciones equivalentes. Para cada fracción haremos lo siguiente.

Sustituimos su denominador por el denominador común.

Calculamos su numerador de la siguiente manera: dividimos el denominador común por el denominador original de cada fracción. El resultado obtenido lo multiplicamos por el numerador original, obteniendo el numerador de la fracción equivalente.

Es más fácil ver todo esto con un ejemplo:

Vamos a calcular las fracciones equivalentes:

Primero calculamos el denominador común: si calculamos los múltiplos de 4, de 3 y de 5 vemos que el MCM es 60.

Ahora vamos a calcular el numerador equivalente de cada fracción:

Primera fracción:

Dividimos el denominador común entre su denominador: 60 : 4 =15

Multiplicamos este resultado por su numerador: 15 x 2 = 30

Segunda fracción:

Dividimos el denominador común entre su denominador: 60 : 3 = 20

Multiplicamos este resultado por su numerador: 20 x 6 = 120

Tercera fracción:

Dividimos el denominador común entre su denominador: 60 : 5 =12

Multiplicamos este resultado por su numerador: 12 x 3 = 36

Ya podemos sustituir las fracciones originales por sus fracciones equivalentes:

Y procedemos a la suma:

POTENCIACIÓN

POTENCIACIóN

 

Una potencia consta de dos partes, por un lado está la base que es el número que se multiplica por sí mismo, es decir el FACTOR y por otro el EXPONENTE que nos indica el número de veces que se multiplica el número.

PROPIEDADES DE LA  POTENCIACIóN

 

MULTIPLICACIÓN DE POTENCIAS QUE TIENEN IGUAL BASE

 

Para multiplicar potencias que tienen igual base se escribe la base y por exponente se coloca la suma de los exponentes de los factores.

Ejemplos

   3²x3³ =  3²⁺³ =3 ⁵

  

  10⁴x10²x10³= 10 ⁴⁺²⁺³ = 10⁹

 

DIVISIÓN DE POTENCIAS QUE TIENEN IGUAL BASE

Para dividir potencias que tienen igual base se escribe la base y por exponente se coloca la diferencia entre el exponente del dividendo y el exponente del divisor.

Ejemplos

             7⁵  = 7 ^5-3  = 7²=49

                 7³

              10⁴  = 10 ^4-2 =10²

                 10²

^{POTENCIA DE UNA POTENCIA}

 

^{Para elevar una potencia a otra potencia se escribe la misma base y por exponente el producto de todos los exponentes}

Ejemplos

  [(3³)]² = 3 3X2 = 36 

  [(11 ⁵)]⁷= 11 ^5X7 =11 ³⁵   

POTENCIA DE UN PRODUCTO

 

Para elevar un producto a una potencia se escriben  todos los factores con el mismo exponente de la potencia dada.

Ejemplos

 (2X3X7) ³ = 2 ³ X 3³ X  7 ³ 

 (5X 11X  13X19)¹¹= 5 ¹¹X  11¹¹  X  13 ¹¹ X 19¹¹